Необходимое условие интегрируемости функции

Если $f(x)$ - интегрируема, то $f(x)$ - ограничена.

От противного: $f(x)$ - не ограничена на $[a,b]$. Рассмотрим разбиение $\tau = \{a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b\}$ Из неограниченности $f(x)$ следует, что $\exists{j}\mathpunct{:}~~ f(x)$ - не ограничена на $[x_{j}, x_{j+1}]$, а также: $$\exists{\xi_{j}}\mathpunct{:}~~ |f(\xi_{j})| > \dfrac{M + |A|}{\Delta x_{j}},~~A = \sum_{k=0}^{n-1} f(\xi_{k})\Delta x_{k}$$ Тогда: $$|S(f,\tau,\xi_{k})| = \left|\sum_{k=0}^{n-1} f(\xi_{k})\Delta x_{k} + f(\xi_{j})\Delta x_{j}\right| \geq |f(\xi_{j})\Delta x_{j}| - |A| > M ~~~\forall{M}$$ Пришли к противоречию определения интегрируемости, а значит $f(x)$ - не интегрируема, противоречие. $\square$